Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 并且满足2Sn=an2+n，an＞0（n∈N*）．
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）猜想{an}的通项公式，并加以证明；
（3）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明： ≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：分别令n=1，2，3，得

∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．

（2）证法一：猜想：an=n，

由2Sn=an2+n①

可知，当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣12+（n﹣1）②

①﹣②，得2an=an2﹣an﹣12+1，即an2=2an+an﹣12﹣1．

1）当n=2时，a22=2a2+12﹣1，∵a2＞0，∴a2=2；

2）假设当n=k（k≥2）时，ak=k．那么当n=k+1时，

ak+12=2ak+1+ak2﹣1=2ak+1+k2﹣1[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，

∵ak+1＞0，k≥2，

∴ak+1+（k﹣1）＞0，

∴ak+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，

∴an=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．

故对于n∈N*，均有an=n．

证法二：猜想：an=n，

1）当n=1时，a1=1成立；

2）假设当n=k时，ak=k．

那么当n=k+1时，2Sk+1=ak+12+k+1．∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，

∴ak+12=2ak+1+2Sk﹣（k+1）=2ak+1+（k2+k）﹣（k+1）=2ak+1+（k2﹣1）

（以下同证法一）

（3）证法一：要证 ≤ ，

只要证 ≤2（n+2），

即n（x+y）+2+ ≤2（n+2），

将x+y=1代入，得 ≤n+2，

即要证4（n2xy+n+1）≤（n+2）2，即4xy≤1．

∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴ ≤ ，

即xy≤ ，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．

证法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴ ≤ ①

当且仅当 时取“=”号．

∴ ≤ ②

当且仅当 时取“=”号．

① +②，得（ ） ≤ =n+2，

当且仅当 时取“=”号．

∴ ≤ ．

证法三：可先证 ≤ ．

∵ ， ，a+b≥ ，

∴2a+2b≥ ，

∴ ≥ ，当且仅当a=b时取等号．

令a=nx+1，b=ny+1，即得： ≤ = ，

当且仅当nx+1=ny+1即 时取等号

【解析】（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1 ， a2 ， a3；（2）证法一：猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣12+（n﹣1），所以an2=2an+an﹣12﹣1再用数学归纳法进行证明；证法二：猜想：an=n，直接用数学归纳法进行证明．（3）证法一：要证 ≤ ，只要证n（x+y）+2+ ≤2（n+2），将x+y=1代入，得 ≤n+2，即要证4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立．
证法二：由题设知 ≤ ， ≤ ，所以（ ） ≤ =n+2，由此可导出 ≤ ．
证法三：先证 ≤ ，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得： ≤ = ．