Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣x，g（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=ex﹣ax﹣1，∴g'（x）=ex﹣a

①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

②若a＞0，当x∈（﹣∞，lna]时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；

当x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．

（2）解：当x＞0时，x2﹣x≤ex﹣ax﹣1，即

令 ，则

令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），则φ'（x）=x（ex﹣2）

当x∈（0，ln2）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当x∈（ln2，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增

又φ（0）=0，φ（1）=0，

∴当x∈（0，1）时，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，φ（x）=（x﹣1）（ex﹣x﹣1＞0，即h'（x）＞0，

∴h（x）单调递增，

∴h（x）min=h（1）=e﹣1，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．

【解析】（1）求出g'（x）=ex﹣a，由a≤0和a＞0分类讨论，由此能求出结果．（2）当x＞0时， 令 ，则 令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），则φ'（x）=x（ex﹣2），由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．