Question

8．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=8，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点．
（Ⅰ）求三棱柱的表面积；
（Ⅱ）求证：A₁C∥面AB₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直三棱柱的表面积=5个面之和进行解答；
（2）设A₁B与AB₁的交点为E，连结DE．欲证明A₁C∥面AB₁D，只需推知DE∥A₁C即可．

解答 （Ⅰ）解：∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°．
又∵在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=8，
∴三棱柱的表面积=AB•BB₁+AC•BB₁+BC•BB₁+2AB•AC=240；
（ II）证明：设A₁B与AB₁的交点为E，连结DE．
∵D是BC的中点，E是AB₁的中点，
∴DE∥A₁C
∵DE?平面ADB₁，A₁C?平面ADB₁，
∴A₁C∥平面ADB₁．

点评 本题主要考查了线面平行判定定理的运用，考查了学生空间观察能力和分析的能力．