Question

已知函数f(x)=

( 1 2 )|x|- 1 4 ，x≤0 |log2(x-1)|，x＞1

．
（1）在下面给定的坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的零点和值域；
（3）若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由所给的函数的解析式，把它化为分段函数的形式，从而画出 f（x） 的图象．
（2）结合函数f（x）的图象，数形结合得出f（x）的零点和值域．
（3）由题意可得，函数f（x） 的图象和直线y=k有2个不同的交点，数形结合求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）由函数的解析式可得 f（x）=

2x-  1 4  ， x≤0 -log2(x -1)， 1＜x＜2 log2(x-1) ， x≥2

，它的图象如图所示：

（2）由函数f（x）的图象可得函数的零点为 x=-2和 x=2，值域为（-

1

4

，+∞）．
（3）若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则函数f（x） 的图象和直线y=k有2个不同的交点，
故k＞

3

4

，故实数k的取值范围为（-

3

4

，+∞）．

点评：本题主要考查对数型复合函数的性质以及应用，函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．