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【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)2
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x1 , x2 , 证明x1+x2>2.

【答案】解:(Ⅰ)

f'(x)=0x=1,当x∈(﹣∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.

所以函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递增

(Ⅱ)证明: ,f(0)=1,不妨设x1<x2

又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,

又函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,

所以x1+x2>2x1>2﹣x2等价于f(x1)<f(2﹣x2),

即0=f(x1)<f(2﹣x2).

,而

所以

设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,则g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex

当x∈(1,+∞)时g'(x)>0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)>0.

恒成立,

所以当x>1时,

故x1+x2>2.


【解析】(Ⅰ)利用导函数在指定区间上的正负得到其增减性。(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论得到x1>2﹣x2 即得于f(x1)<f(2﹣x2)求出 f ( 2 x 2 )的表达式,构造函数g(x)求导根据导函数的正负得出函数的最值,转化求解即可。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.

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优秀人数

非优秀人数

总计

甲班

乙班

30

总计

60

(Ⅱ)现已知A,B,C三人获得优秀的概率分别为 ,设随机变量X表示A,B,C三人中获得优秀的人数,求X的分布列及期望E(X).
附: ,n=a+b+c+d

P(K2>k0

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

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