Question

已知定点F（1，0），动点P在y轴（不含原点）上运动，过点P作线段PM交x轴于点M，使

MP

•

PF

=0；再延长线段MP到点N，使

MP

=

PN

．
（Ⅰ）求动点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线L与轨迹C交于A、B两点，如果

OA

•

OB

=-4且|

AB

|=4

6

，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用条件求方程．
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况求直线方程，运用弦长公式．

解答：解：（Ⅰ）设N（x，y），P（0，p），
由题意知，P为MN的中点，∴M（-x，2p-y），
又M在x轴上，∴2p-y=0，即p=

y

2

，∴P（0，

y

2

），M（-x，0）
∵

PM

•

PF

=0，∴（-x，-

y

2

）×（1，-

y

2

）=0，∴y²=4x（x＞0）
∴动点N的轨迹C的方程为y²=4x（x＞0）
（Ⅱ）若直线L的斜率不存在，设直线L的方程为x=a＞0，
此时，A（a，2

a

），B（a，-2

a

），

OA

•

OB

=a²-4a=-4，
∴a=2，

AB

=(0，-4

2

)，|AB|=4

2

¹4

6

，不符合题意，舍去．
∴直线L的斜率存在．
设直线L的方程为y=kx+b，A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)，
由

y=kx+b y2=4x

消去y整理得，ky²-4y+4b=0，
△=16-16kb＞0，y₁+y₂=

4

k

，
y₁y₂=

4b

k

OA

•

OB

=

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=

b2+4kb

k2

=-4，
∴b=-2k，∴y₁y₂=-8
|AB|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=

k2+1 k2 ( 16 k2 +32)

=

4

k2

(k2+1)(1+2k2)

，
∵|AB|=4

6

∴

4

k2

(k2+1)(1+2k2)

=4

6

4k⁴-3k²-1=0
∴k=±1∴当k=1时，b=-2，
当k=-1时，b=2；
所以直线L的方程为 y=x-2或y=-x+2．

点评：注意分类讨论的解题思想，运用弦长公式．