Question

设命题p：|4x-3|≤1，命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：通过求解绝对值的不等式得到满足命题￢p的x的取值集合，求解一元二次不等式得到满足命题￢q的x的取值集合，然后根据“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题得到两个集合之间的关系，最后运用两个集合的端点值之间的大小列不等式进行求解．

解答：解：由|4x-3|≤1，得：-1≤4x-3≤1，解得：

1

2

≤x≤1，
因此，满足命题p的x的取值集合为{x|

1

2

≤x≤1}，则满足命题￢p的x的取值集合为{x|x＜

1

2

，或x＞1}；
由x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得：（x-a）[x-（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1．
因此，满足命题q的x的取值集合为{x|a≤x≤a+1}，则满足命题￢q的x的取值集合为{x|x＜a，或x＞a+1}；
由“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题，
得，{x|x＜a，或x＞a+1}⊆{x|x＜

1

2

，或x＞1}．
因此

a≤ 1 2 a+1≥1

，解得a∈[0，

1

2

]．
所以，所求实数a的取值范围是[0，

1

2

]．

点评：本题考查了复合命题的真假判断与应用，考查了绝对值不等式及一元二次不等式的解法，解答此题的关键是根据命题的真假得到两个集合之间的关系，考查了数学转化思想，另外，由集合间的关系比较端点值大小时易出错，此题是中档题．