Question

（2013•山东）已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ） 设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

分析：（I）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax²+bx-lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；
（II）由题意当a＞0时，

-b+ b2+8a

4a

是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出

-b+ b2+8a

4a

=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与-2b的大小构造函数g（x）=2-4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故当a=0时，f′（x）=

bx-1

x

若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函数在（0，

1

b

）上是减函数，在（

1

b

，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0，

1

b

），单调递增区间是（

1

b

，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

-b+ b2+8a

4a

，x₁=

-b- b2+8a

4a

显然有x₁＜0，x₂＞0，
故在区间（0，

-b+ b2+8a

4a

）上，导数小于0，函数是减函数；在在区间（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，

1

b

），单调递增区间是（

1

b

，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，

-b+ b2+8a

4a

），单调递增区间是（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）
（II）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
由（1）知，

-b+ b2+8a

4a

是函数的唯一极小值点故

-b+ b2+8a

4a

=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）=

1-4x

x

令g′（x）=

1-4x

x

=0得x=

1

4

当0＜x＜

1

4

时，g′（x）＞0，函数单调递增；
当

1

4

＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减
因为g（x）≤g（

1

4

）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b

点评：本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．