Question

3．已知点C在直线AB上，且对平面任意一点O，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，x＞0，y＞0，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由三点共线和向量式可得x+y=1，可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：由A、B、C三点共线可得x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）
=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及三点共线的性质，属基础题．