Question

11．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₉是S₃与S₆的等差中项，且a₂+a₅=2a_m，则m=8．

Answer 1

分析 S₉是S₃与S₆的等差中项，可得：2S₉=S₃+S₆，对q分类讨论，利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．

解答 解：∵S₉是S₃与S₆的等差中项，∴2S₉=S₃+S₆，
若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．但a₁≠0，即得S₃+S₆≠2S₉，与题设矛盾，q≠1．
又依题意S₃+S₆=2S₉可得：$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=2×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$，
整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0，∴q³=-$\frac{1}{2}$，q⁶=$\frac{1}{4}$．
∵a₂+a₅=2a_m，∴a₂+${a}_{2}{q}^{3}$=2${a}_{2}{q}^{m-2}$，
∴1+q³=2q^m-2，
∴q^m-2=$\frac{1}{4}$=q6，
∴m-2=6．
则m=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．