Question

设双曲线C₁的渐近线为y=±

3

x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于2

2

，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若

AF

=

1

3

FB

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

（1）双曲线C₁满足：

b1 a1 = 3 2a1=1

…（1分），解得

a1= 1 2 b1= 3 2

…（2分）
则c1=

a 21 + b 21

=1，于是曲线C₁的焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲线C₂是以F₁、F₂为焦点的椭圆，设其方程为

x2

a 22

+

y2

b 22

=1(a2＞b2＞0)…（4分），
解

2a2=2 2 a 22 - b 22 =1

得

a2= 2 b2=1

，即C₂：

x2

2

+y2=1…（5分），
依题意，曲线C3：x2=2py(p＞0)的焦点为F（0，1）…（6分），
于是

p

2

=1，所以p=2，曲线C3：x2=4y…（7分）
（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：x1=2k-2

k2+1

，x2=2k+2

k2+1

…（9分），
由

AF

=

1

3

FB

得-3x₁=x₂…（10分），于是-3(2k-2

k2+1

)=2k+2

k2+1

，解得k2=

1

3

…（11分），
由图知k＞0，∴k=

3

3

，
∴直线l的倾斜角为

π

6

…（12分）