【题目】设整数,对置于个点及点处的卡片作如下操作:操作:若某个点处的卡片数不少于3,则可从中取出三张,在三点、、处各放一张;操作:若点处的卡片数不少于,则可从中取出张,在个点处各放一张。证明:只要放置于这个点处的卡片总数不少于,则总能通过若干次操作,使得每个点处的卡片数均不少于。
【答案】见解析
【解析】
仅对卡片总数等于证明即可。否则,若放在题设个点处的卡片总数多于,则可以从中随便拿掉一些,使卡片总数恰为。
1.先把个点处的卡片数均调整到不少于。
若某个点处的卡片数不少于3张,则实施操作,每一次这样的操作均使得点处的卡片数增加1,经过若干次操作后,便不能再实施操作,此时,每个点处的卡片数至多2张,点处的卡片数至少张;再对点连续实施次操作,使得每个点处的卡片数至少有张。
2.保证每个点处的卡片数不少于张,经历一些操作,使得点处的卡片数增加至张。
ⅰ.团与好团。
把个点理解为以为圆心的圆周上顺次均匀分布的个点,定义相邻点集(;规定为一个团;若一个团的每个点均经历一次操作之后,各点处的卡片数均不少于,则称之为好团。
ⅱ.好团的特征
记点处的卡片数为,则。
1个点的团是好团的充分必要条件为;
2个点的团是好团的充分必要条件为、;
个点的团是好团的充分必要条件为,且;
个点的团是好团的充分必要条件为。
ⅲ.当点处的卡片数少于时,必存在好团。
假设此时不存在好团。
则,且。
记满足的点的个数分别为。
则。
下面证明:。
因为不是好团,所以,存在。
假设。则满足的个点在圆周上没有两点相邻(否则会出现两个点的好团),且每两个这样的点之间至少存在一个满足的点(否则会出现的好团),于是,必有。
故,矛盾。
因此,在点处的卡片数少于时,必存在好团。
ⅳ.对好团中每个点实施操作,使得点处的卡片数增加至,且有足够的好团保证。
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【题目】如图,直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F 在BB1上的什么位置时,AB1⊥平面C1DF ?并证明你的结论.
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【题目】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
①能组成多少个没有重复数字的七位数?
②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?
④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
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【题目】某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为,复审能通过的概率为,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
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【题目】下列命题正确的选项为( )
①平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;
②一个平面内的一条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③一条直线与一个平面内的两条直线垂直,则该直线与此平面垂直;
④一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
A.①②B.②③C.①④D.③④
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】设、为平面上两个点集,满足,,且任意三点不共线.在集合和间各连若干条线段,每条线段均一个端点在集合中,另一个端点在集合中,且任意两点间至多连一条线段,记所有线段构成的集合为.若集合满足对于集合或中任意一点均至少连出条线段,则称集合是“一好的”.试确定的最大值,使得去掉任意一条线段,集合均不是一好的.
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【题目】某种商品在天内每克的销售价格(元)与时间的函数图象是如图所示的两条线段(不包含两点);该商品在 30 天内日销售量(克)与时间(天)之间的函数关系如下表所示:
第天 | 5 | 15 | 20 | 30 |
销售量克 | 35 | 25 | 20 | 10 |
(1)根据提供的图象,写出该商品每克销售的价格(元)与时间的函数关系式;
(2)根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式;
(3)在(2)的基础上求该商品的日销售金额的最大值,并求出对应的值.
(注:日销售金额=每克的销售价格×日销售量)
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