Question

如图，椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．
（1）若，求实数λ的值；
（2）设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件可得，．利用两直线垂直的关系可求直线AB的方程，及C的坐标，联立直线AB与椭圆的方程可求B，利用向量的坐标表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圆的圆心为D（1，0），半径为2．从而可得圆D的方程为（x-1）²+y²=4．AB为定值，要求△PAB的面积最大时，转化为求点P到直线AC的距离最大．利用圆的知识求解即可
解答：解：（1）由条件得，．
因为AB⊥AF，
所以，．
令y=0，得x=3，
所以点C的坐标为（3，0）．
由得13x²-24x=0，解得x₁=0（舍）．
所以点B的坐标为．
因为，所以λ＞0，且．
（2）因为△ACF是直角三角形，
所以△ACF的外接圆的圆心为D（1，0），半径为2．
所以圆D的方程为（x-1）²+y²=4．
因为AB为定值，
所以当△PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．
过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．
直线与（x-1）²+y²=4联立得x=2（舍）或x=0，
所以点P的坐标为（0，-）
点评：本题主要考查了椭圆的基本概念，直线垂直关系的应用，向量共线的坐标表示，直线与椭圆的相交关系，及圆的知识的综合应用，试题的运算较多，考查了运算的能力．