Question

13．设不等式$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$，（其中k＞0）在平面直角坐标系中所表示的区域为Ω，其面积为S，若C：（x-4）²+（y-3）²=4与区域Ω有公共点时，求S的最小值为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 画出可行域，利用C：（x-4）²+（y-3）²=4与区域Ω有公共点S取得最小值时，直线与圆相切，求出k的值，然后求解面积为S的最小值．

解答 解：不等式$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$，（其中k＞0）在平面直角坐标系中所表示的区域为Ω，如图：

在平面直角坐标系中所表示的区域为Ω，C：（x-4）²+（y-3）²=4与区域Ω有公共点，S取得最小值时，
直线与圆相切，则
可得：$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，k＞0，k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查直线与圆的位置关系，是中档题．