Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，
（1）求证：MN⊥平面PCD
（2）若AB=

2

a，求二面角N-MD-C．

Answer 1

分析：（1）取PD中点E，则AE∥MN，转化为证明AE⊥平面PCD，而由PA=AD，可证AE⊥PD①由已知可得CD⊥平面PAD可得CD⊥AE②，由①②根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD进而可证MN⊥平面PCD
（2）设AB与CD的交点为O，连接ON，则可得ON∥PA，从而有ON⊥平面ABCD，利用三垂线法作出二面角，进而在直角三角形中求解即可

解答：（1）证明：取PD中点E，
∵E，N分别是PD，PC中点，
∴EN=

1

2

CD=

1

2

AB=AM（2分）
∴AE∥MN
∵PA=AD
∴AE⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD，CD⊥AD（4分）
PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
AE??平面PAD
∴AE⊥CD，CD∩PD=D
∴AE⊥平面PCD
∴MN⊥平面PCD（6分）
（2）解：连AC交BD于O，则O是AC中点，连ON则ON⊥ABCD（8分）
作OF⊥MD，连NF，则NF⊥MD
∴∠NFO是二面角N-DM--C的平面角，
NO=

1

2

PA=

1

2

a，OF=

3

6

a（10分）
∴tan∠NFO=

NO

OF

=

1 2 a

3 6 a

=

3

．
二面角N-MD-C为60°（12分）

点评：本题主要考查了利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，利用三垂线定理作二面角的平面角的作法，还要考生具备一定的空间想象能力和推理论证的能力．