Question

7．已知函数f（x）=x²-2ax+1，x∈[-2，5]
（1）若f（x）在[-2，5]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）若f（x）的最大值为13，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在[-2，5]上是单调函数，则定区间在函数图象对称轴的同一侧；
（2）分类讨论给定区间和对称轴的位置关系，进而分析函数的单调性，可得函数的最小值；
（3）分类讨论给定区间和对称轴的位置关系，结合f（x）的最大值为13，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
若f（x）在[-2，5]上是单调函数，则a≤-2，或a≥5；
（2）当a≤-2时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[-2，5]上单调递增，当x=-2时，函数取最小值4a+5；
当-2＜a＜5时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[-2，a]上单调递减，在区间[a，5]上单调递增，当x=a时，函数取最小值-a²+1；
当a≥5时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[-2，5]上单调递减，当x=5时，函数取最小值-10a+26；
综上所述，f（x）的最小值为：$\left\{\begin{array}{l}4a+5，a≤-2\\-{a}^{2}+1，-2＜a＜5\\-10a+26，a≥5\end{array}\right.$，
（3）当a≤$\frac{-2+5}{2}$=$\frac{3}{2}$时，当x=5时，函数取最大值-10a+26=13，解得：a=$\frac{13}{10}$；
当a＞$\frac{-2+5}{2}$=$\frac{3}{2}$时，当x=-2时，函数取最大值4a+5=13，解得：a=2；
综上所述，a=$\frac{13}{10}$，或a=2；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．