Question

已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．

(Ⅰ)求证：·＝·；

(Ⅱ)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)法一，l：y＝－(x－c)， 　　解得P()． 　　∵、、成等比数列， 　　∴A(，0)．∴＝(0，－)． 　　＝(，)， 　　＝(－，)， 　　∴·＝－，·＝－． 　　∴·＝·． 　　法二：同上得P(，)． 　　∴PA⊥x轴．·－·＝·＝0． 　　∴·＝·． 　　(Ⅱ)∴b2x2－(x－c)2＝a2b2． 　　即(b2－)x2＋2cx－(＋a2b2)＝0， 　　∵x1·x2＝＜0， 　　∴b4＞a4，即b2＞a2，c2－a2＞a2． 　　∴e2＞2．即e＞．