Question

4．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2015，数列{a_n}前n项和记为S_n．
（1）若${S_3}=\frac{6045}{4}$，求等比数列{a_n}的公比q；
（2）在（1）的条件下证明：S₂≤S_n≤S₁；
（3）数列{a_n}前n项积记为T_n，在（1）的条件下判断|T_n|与|T_n+1|的大小，并求n为何值时，T_n取得最大值．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
（2）求得数列{a_n}前n项和S_n．讨论n为偶数和奇数，由单调性，即可得证；
（3）求出|T_n+1|与|T_n|的商，讨论当n≤10时，当n≥11时，课比较大小；由T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，即可得到n为何值时，T_n取得最大值．

解答 解：（1）等比数列{a_n}的首项a₁=2015，公比为q，
有${S_3}=2015（1+q+{q^2}）=\frac{6045}{4}$，即${q^2}+q+\frac{1}{4}=0$，解得$q=-\frac{1}{2}$；
（2）证明：由（1）可得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2015}{1+\frac{1}{2}}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]=$\frac{4030}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
当n为偶数时，S_n=$\frac{4030}{3}$•[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]递增，即有S_n≥S₂；
当n为奇数时，S_n=$\frac{4030}{3}$•[1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]递减，即有S_n≤S₁；
S₁＞S₂，则有S₂≤S_n≤S₁；
（3）∵$\frac{{|{{T_{n+1}}}|}}{{|{T_n}|}}=\frac{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}•{a_{n+1}}}|}}{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}}|}}=|{{a_{n+1}}}|=\frac{2015}{2^n}$．
又∵$\frac{2015}{{{2^{11}}}}＜1＜\frac{2015}{{{2^{10}}}}$，∴当n≤10时，|T_n+1|＞|T_n|；
当n≥11时，|T_n+1|＜|T_n|．∴当n=11时，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的较大者，
又∵$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{10}}•{a_{11}}•{a_{12}}={[{2015•{{（{-\frac{1}{2}}）}^{10}}}]^3}＞1$，∴T₁₂＞T₉．
因此当n=12时，T_n最大．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及考比数列的单调性的运用，以及分类讨论思想和运算能力，属于中档题．