Question

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，且a₁＝|OP₁|²，a₂＝|OP₂|²，…，a_n＝|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．

(1)若C的方程为－y²＝1，n＝3．点P₁(3，0)及S₃＝162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)

(2)若C的方程为y²＝2px(p≠0)．点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x₁＋p)²，(x₂＋p)²，…，(x_m＋p)²成等差数列；

(3)若C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a1＝|OP1|2＝9，由S3＝(a1＋a3)＝162，得a3＝|OP3|3＝99． 　　由得 　　∴点P3的坐标可以为(3，3)． 　　(2)对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OPk|2＝(k－1)d，及 　　得xk2＋2pxk＝(k－1)d． 　　∴xk2＋2pxk＝(k－1)d， 　　即(xk＋p)2＝p2＋(k－1)d， 　　∴(x1＋p)2，(x2＋p)2，…，(xn＋p)2是首项为p2，公差为d的等差数列． 　　(3)解法一：原点O到二次曲线C：＋＝1(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a． 　　∵a1＝|OP1|2＝a2，d＜0，且an＝|OPn|2＝a2＋(n－1)d≥b2， 　　∴≤d＜0．∵n≥3，＞0 　　∴Sn＝na2＋d在[，0)上递增， 　　故Sn的最小值为na2＋·＝． 　　解法二：对每个自然数k(2≤k≤n)，由 　　解得yk2＝． 　　∵0＜yk2≤b2，得≤d＜0 　　∴≤d＜0 　　以下与解法一相同．