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5.一个圆锥的底面半径为2cm,高为4cm,其中有一个高为xcm的内接圆柱:
(1)求圆锥的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱侧面积最大?并求出最大值.

分析 (1)由题意,求出圆锥的母线长,即可求圆锥的侧面积;
(2)根据轴截面和比例关系列出方程,求出圆柱的底面半径,表示出圆柱的侧面积,根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值.

解答 解:(1)圆锥的母线长$l=\sqrt{{R^2}+{h^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$
∴圆锥侧面积S1=πRl=4$\sqrt{5}$cm2;(6分)
(2)设内接圆柱的底面半径为r,由图形特征知,$\frac{x}{4}=\frac{2-r}{2}$,∴x=4-2r(8分)
圆柱侧面积S=2πrx=2r(4-2r)π=(-4r2+8r)π=-4(r-1)2π+4π(cm2
∴r=1,即x=2时,圆柱的侧面积最大,最大为4πcm2.(14分)

点评 本题的考点是棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,关键是利用轴截面,求出长度之间的关系式,表示出面积后利用函数的思想求出最值,考查了数形结合思想和函数思想.

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