Question

【题目】已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+ ﹣x，m∈R且m≠0．
（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣ 在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当m=2时，g（x）=﹣lnx+x2﹣x+log2（3k﹣1），x＞0，

所以 ，

令g'（x）=0，解得x=1或 （舍去），

当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上单调递减，

当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以x=1是y=g（x）的极小值点，y=g（x）的最小值为g（1）=log2（3k﹣1）…（3分）

当log2（3k﹣1）=0，即 时，函数y=g（x）有一个零点，

当log2（3k﹣1）＞0，即 时，函数y=g（x）没有零点，

当log2（3k﹣1）＜0，即 时，函数y=g（x）有两个零点

（Ⅱ）由已知 ，

令f'（x）=0，解得 ，由于 ，

①若m＜0，则 ，故当x≥1时，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递减，

所以 ，又因为 ，则 不成立

②若 ，则 ，故当 时，f'（x）≤0；当 时，f'（x）＞0，

即f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，

所以 ，

因为 ，所以 ，

则 ，

因此当 时， 恒成立

③若 ，则 ，故当x≥1时，f'（x）≥0，

因此f（x）在[1，+∞）上单调递增，

故 ，令 ，化简得m2﹣4m+2＞0，

解得 ，所以

综上所述，实数m的取值范围是

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数f（x）的最小值，确定m的范围即可．