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设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间(-1,1]上,f(x)=
2x+1 ,  -1<x<0   
ax+2
x+1
 ,  0≤x≤1   
,其中常数a∈R,且f(
1
2
)=f(
3
2
).
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)=f(x)+f(-x),x∈[-2,-1]∪[1,2].
①求证:g(x)是偶函数;
②求函数g(x)的值域.
考点:分段函数的应用,函数的周期性
专题:计算题,证明题,函数的性质及应用
分析:(1)由分段函数,得f(
1
2
),再由周期2,可得f(
3
2
)=f(-
1
2
),再由条件,解方程即可得到a;
(2)①运用偶函数的定义,注意检验定义域是否关于原点对称,即可得证;
②由偶函数可知g(x)的值域与g(x)在[1,2]上的值域相等.求出g(x)在[1,2]的解析式,通过导数判断单调性,再求值域.
解答:(1)解:在区间(-1,1]上,f(x)=
2x+1 ,  -1<x<0   
ax+2
x+1
 ,  0≤x≤1   

f(
1
2
)=
a
2
+2
1
2
+1
=
a+4
3

由函数f(x)的周期为2,得f(
3
2
)=f(
3
2
-2)=f(-
1
2
)=2(-
1
2
)+1=0

f(
1
2
)=f(
3
2
)
,∴
a+4
3
=0,a=-4

(2)①证明:∵对?x∈[-2,-1]∪[1,2],有-x∈[-2,-1]∪[1,2],
且g(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=g(x),
∴g(x)是偶函数.
②解:由①知g(x)是偶函数,
所以g(x)的值域与g(x)在[1,2]上的值域相等.
又f(x)=
2x+1,-1<x<0
2-4x
1+x
,0≤x≤1

则g(1)=f(1)+f(-1)=f(1)+f(-1+2)=2f(1)=-2,
g(2)=f(2)+f(-2)=2f(0)=4,
当1<x<2时,-2<-x<-1,g(x)=f(x)+f(-x)=f(x-2)+f(-x+2)g(x)=2(x-2)+1+
-4(2-x)+2
(2-x)+1
=2x-
6
x-3
-7

g′(x)=2+
6
(x-3)2
>0
,g(x)在(1,2)内是增函数,
2-
6
1-3
-7<g(x)<2×2-
6
2-3
-7

即-2<g(x)<3.
综上知,函数g(x)的值域为[-2,3)∪{4}.
点评:本题考查分段函数及运用,考查函数的周期性及应用,函数的奇偶性及单调性和运用,考查运算能力,属于中档题.
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已知3x=5y=a,且
1
x
+
1
y
=2,则a的值为(  )
A、
15
B、15
C、±
15
D、225

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已知f(x)=
ax,x<2
(5-a)x-a,x≥2
是R上的增函数,那么a的取值范围是(  )
A、(0,1)
B、(1,5)
C、(1,2]
D、[2,5)

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设f(x)=
lgx,x>0
x+
a
0
3
t
2
 
dt,x≤0
,若f(f(1))=1,则(4x-2-xa+5展开式中常数项为
 

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①f(x)是以2π为周期的周期函数    
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π
2
,2kπ],k∈Z
③f(x)的值域为[-2,2]
④f(x)取最小值的x的取值集合为{x|x=2kπ+
π
2
,k∈Z}
其中说法正确的序号有
 

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(1)利用分段函数的形式表示f(x);【提示:零点分段法】
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某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每生产x千件产品每年需另增加的可变成本为C(x)(单位:万元),且C(x)=
1
3
x2+10x(0<x<80,x∈N*)
51x+
10000
x
-1450(x≥80,x∈N*)
,每件产品的售价为500元,且假定该公司生产的产品能全部售出.
(Ⅰ)写出年利润L(x)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司所获利润最大?最大利润是多少?

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已知A,B是直径SC=8的球面上的两点,且AB=4,∠BSC=∠ASC=45°,则棱锥S-ABC的体积为(  )
A、
32
3
3
B、21
3
C、
21
2
3
D、54

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执行如图程序,当输入42,27时,输出的结果是
 

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