Question

已知圆E与x轴相切，圆心在y轴正半轴上，且被直线x-y=0截得的弦长为2

2

．
（1）求圆E 标准方程；
（2）过定点P（-3，0）的直线交圆E于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H（x₀，y₀），满足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，试求点H的横坐标x₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线x-y=0的距离，即可求出b，从而可得圆E标准方程；
（2）由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，联立方程消去y，P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，则

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，可转化为

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，求出x₀=-

6k

2k+3

=-3+

9

2k+3

，即可求点H的横坐标x₀的取值范围．

解答： 解：（1）由已知可设圆E的圆心（0，b），则半径为b．
∵圆心到直线x-y=0的距离d=

b2-( 3 2 2 )2

=

|b|

2

，
解得b²=4，b=-2（舍去），b=2，
∴圆E的标准方程为x²+（y-2）²=4．  
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，
联立方程消去y，得（1+k²）x²+2k（3k-2）x+（3k-2）²-4=0，
于是x₁+x₂=-

2k(3k-2)

1+k2

，x₁x₂=

(3k-2)2-4

1+k2

．①
又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
则

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，可转化为

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，
将①代入整理得：x₀=-

6k

2k+3

=-3+

9

2k+3

，
由

|-2+3k|

1+k2

＜2，可解得0＜k＜

12

5

，
于是可得-

24

13

＜x₀＜0，满足-2＜x₀＜2，
∴-

24

13

＜x₀＜0．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．