Question

8．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$ （t为参数，a为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
（1）写出曲线C的直角坐标方程
（2）直线l与曲线C交于不同的两点M，N，设P（4，2）．求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的转换关系式$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$，可将曲线C的方程化为直角坐标方程．
（2）联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4．
（2）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$ （t为参数，a为直线l的倾斜角），
∴将l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由题意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜$\frac{π}{2}$．
设点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
由韦达定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）．
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
故|PM|+|PN|的取值范围是（4，4$\sqrt{2}$]．

点评 极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=$\frac{y}{x}$等．对于曲线C与直线l的相交问题，一般是联立曲线与直线的方程，消去相应的变量，再利用韦达定理求解．