Question

（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，数列{b_n}满足b_n = 2log_pa_n．
（Ⅰ）若p =，设数列的前n项和为T_n，求证：0 < T_n≤4；
（Ⅱ）是否存在自然数M，使得当n > M时，a_n > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：由(p – 1)S_n = p² – a_n(n∈N^*)                   ①
由(p – 1)S_{n – 1} = p² – a_{n – 1}                                     ②
① – ②得(n≥2)
∵a_n > 0(n∈N^*)
又(p – 1)S₁ = p² – a₁，∴a₁ = p
{a_n}是以p为首项，为公比的等比数列
a_n = p
b_n = 2log_pa_n = 2log_pp^{2 – n}
∴b_n =" 4" – 2n …………4分
证明：由条件p =得a_n = 2^{n – 2}
∴T_n =                          ①
                            ②
① – ②得

=" 4" – 2 ×
=" 4" – 2 ×
∴T_n =…………8分
T_n – T_{n – 1} =
当n > 2时，T_n – T_{n – 1}< 0
所以，当n > 2时，0 < T_n≤T₃ = 3
又T₁ = T₂ = 4，∴0 < T_n≤4．…………10分
（Ⅱ）解：若要使a_n > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论
当p > 1时，2 – n > 0，n < 2
当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2
        ∴当0 < p < 1时，存在M = 2
当n > M时，a_n > 1恒成立．…………14分

略