Question

曲线：y=ax³+bx²+cx+d在（0，1）点处的切线为l₁：y=x+1，在（3，4）点处的切线为l₂：y=-2x+10，求曲线C的方程．

Answer 1

分析：求曲线过一点处的切线，先求斜率，根据导数的几何意义可知切线的斜率即导函数在x₀处的值，建立方程组，解之即可求出曲线C的方程．

解答：解：已知两点均在曲线C上，y′=3ax²+2bx+c
f′（0）=c，f′（3）=27a+6b+c
l₁：y=cx+1 l₂：y=（27a+6b+c）（x-3）+4
与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=-

1

3

，b=1．
C：y=-

1

3

x³+x²+x+1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．