Question

10．函数f（x）=a^x+log_a（x+2）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a=$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）在[0，1]上为单调函数，结合题意可得：f（0）+f（1）=（1+log_a2）+（a+log_a3）=a，由此求得a的值．

解答 解：当a＞1时，y=a^x和y=log_a（x+2）都为增函数，即有y=f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，y=a^x和y=log_a（x+2）都为减函数，即有y=f（x）为减函数．
故函数f（x）=a^x+log_a（x+2）（a＞0，且a≠1）在[0，1]上必为单调函数，
由于f（x）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，
故有 f（0）+f（1）=（1+log_a2）+（a+log_a3）=a，
解得a=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．