Question

5．已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的定义域，并判断F（x）的奇偶性，请说明理由；
（Ⅱ）判断H（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）换底公式得到g（x）=-log₂（1-x），从而得到F（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x），解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$便可得出F（x）的定义域，并容易求出F（-x）=-F（x），这便得到F（x）为奇函数；
（Ⅱ）分离常数得到H（x）=$-1+\frac{2}{1-x}$，可看出该函数在（1，+∞）上单调递增，根据增函数的定义证明：设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，证明H（x₁）＞H（x₂）便可得出H（x）在（1，+∞）上单调递增．

解答 解：（Ⅰ）$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x）=-lo{g}_{2}（1-x）$；
∴F（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x）；
解$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
F（-x）=log₂（1-x）-log₂（x+1）=-F（x）；
∴F（x）为奇函数；
（Ⅱ）$H（x）=\frac{-（1-x）+2}{1-x}$=$-1+\frac{2}{1-x}$；
H（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：
设x₁＞x₂＞1，则：$H（{x}_{1}）-H（{x}_{2}）=\frac{2}{1-{x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，1-x₁＜0，1-x₂＜0；
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＞0$；
∴H（x₁）＞H（x₂）；
∴H（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评 考查奇函数的定义及判断奇函数的方法和过程，对数的换底公式，分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断和证明一个函数为增函数的方法和过程．