Question

10．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（2）（4）．
（1）A′C⊥BD；  （2）∠BA′C=90°；
（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；
（4）四面体A′-BCD的体积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2），△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知真假；对于（4），利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．

解答 解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故（1）不正确；
由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；
V_A′-BCD=V_C-A′BD=$\frac{1}{6}$，故（4）正确．
故答案为：（2）（4）．

点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．