Question

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.
（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A₁，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A₁）="1-" P（）=1-=。
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；……4分
(Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A₂，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B₂，则
，
，
由于甲、乙射击相互独立，
故。
、答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；…………8分
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A₃，
“乙第i次射击未击中” 为事件D_i，（i=1，2，3，4，5），则A₃=D₅D₄，且P（D_i）=，由于各事件相互独立，故P（A₃）= P（D₅）P（D₄）P（）
=×××（1-×）=，
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。…………12分
或者：分类处理
1. 前三次都击中目标，第四、五次连续两次都未击中目标
2. 第一次未击中目标，第二、三次击中，
3. 第一次击中，第二次未击中，第三次击中，
点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.