Question

已知△ABC三个内角满足A、B、C成等差，设x=cos

A-C

2

，f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)．
（1）求f（x）解析式及定义域；
（2）讨论函数单调性，并证明；
（3）求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）先确定B，再借助于x=cos

A-C

2

，f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)．化简可得．
（2）根据定义域，利用导数，令导数小于0，可知函数的单调性
（3）根据函数的单调性及函数的定义域，可确定函数的值域．

解答：解：（1）由题意，∵A、B、C成等差
∴2B=A+C
∴3B=180°
∴B=60°
∴f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)=

1

2

× 

cosA+cosC

cosAcosC

．
∵x=cos

A-C

2

，
∴f(x)=

2x

4x2-3

，(

1

2

＜x＜

3

2

，

3

2

＜x≤1)
（2）f/(x)=

-8x2-6

(4x2-3)2

＜0，∴函数的单调减区间是(

1

2

，

3

2

)，(

3

2

，1]
（3）由（2）知，f(

1

2

)=-

1

2

，f(1)=2，
∴f（x）值域为(-∞，-

1

2

)∪[2，+∞)．

点评：本题以三角形为载体，考查三角函数，涉及三角函数式的化简，函数的性质，函数的值域，有一定的综合性．