Question

【题目】设函数f（x）= （其中常数a＞0，且a≠1）．
（1）当a=10时，解关于x的方程f（x）=m（其中常数m＞2 ）；
（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=

①当x＜0时，f（x）= ＞3．因为m＞2 ．

则当2 ＜m≤3时，方程f（x）=m无解；

当m＞3，由10x= ，得x=lg ．

②当x≥0时，10x≥1．由f（x）=m得10x+ =m，

∴（10x）2﹣m10x+2=0．

因为m＞2 ，判别式△=m2﹣8＞0，解得10x= ．

因为m＞2 ，所以 ＞ ＞1．

所以由10x= ，解得x=lg ．

令 =1，得m=3．

所以当m＞3时， = ＜ =1，

当2 ＜m≤3时， = ＞ =1，解得x=lg ．

综上，当m＞3时，方程f（x）=m有两解x=lg 和x=lg ；

当2 ＜m≤3时，方程f（x）=m有两解x=lg ．

（2）解：①若0＜a＜1，

当x＜0时，0＜f（x）= ＜3；

当0≤x≤2时，f（x）=ax+ ．

令t=ax，则t∈[a2，1]，g（t）=t+ 在[a2，1]上单调递减，

所以当t=1，即x=0时f（x）取得最小值为3．

当t=a2时，f（x）取得最大值为 ．

此时f（x）在（﹣∞，2]上的值域是（0， ]，没有最小值．

②若a＞1，

当x＜0时，f（x）= ＞3；

当0≤x≤2时f（x）=ax+ ．

令t=ax，g（t）=t+ ，则t∈[1，a2]．

①若a2≤ ，g（t）=t+ 在[1，a2]上单调递减，

所以当t=a2即x=2时f（x）取最小值a2+ ，最小值与a有关；

②a2＞ ，g（t）=t+ 在[1， ]上单调递减，在[ ，a2]上单调递增，

所以当t= 即x=loga 时f（x）取最小值2 ，最小值与a无关．

综上所述，当a≥ 时，f（x）在（﹣∞，2]上的最小值与a无关．

【解析】（1）当a=10时，脱掉绝对值，写出f（x）的分段函数，根据分段函数在相应的区间所对应的解析式进行求解，（2）根据题意有，对a进行分类讨论，①a＞1时，②0＜a＜1时，两种情况分析，每种情况下根据绝对值，再按照x≥0时，和-2≤x＜0两种情况讨论，最后可得结论.