Question

已知A、B为抛物线x²=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则
①

CF

•

DF

=0；
②存在实数λ使得

AD

=λ

AO

（点O为坐标原点）；
③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有

FT

•

AB

=0；
④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．
其中说法正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：设直线AB方程为y=kx+

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C(x1，-

p

2

)，D(x2，-

p

2

)
由

y=kx+ p 2 x2=2py

⇒x2-2pkx-p2=0，

x1+x2=2pk x1x2=-p2

①由抛物线定义可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y轴，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90°即

CF

•

DF

=0；①正确
②kOA=

y1

x1

=

x 2 1 2p

x1

=

x1

2p

，kDO=

- p 2

x2

=

- p 2

-p2 x1

=

x1

2p

∴AO∥DO即存在实数λ使得

AD

=λ

AO

；②正确
③因为T(

x1+x2

2

，-

p

2

)，由于

x1+x2

2

=pk，若k≠0则kFT=

p 2 + p 2

-pk

=-

1

k

k_FT•k_AB=-1，

FT

•

AB

=0；若k=0显然

FT

•

AB

=0；③正确
④由于y′=

x

p

，抛物线在A点的切线斜率为k1=

x1

p

，抛物线在B点切线斜率为k2=

x2

p

因为k1k2=

x1x2

p2

=

-p2

p2

-1，故一定相交，并且相互垂直．④正确
故选D．

点评：本题考查抛物线的概念和性质，注重平时复习对知识的理解和重要内容的记忆，特别是教材中例题研究的方法和结论，都会是高考命题的主要来源．