Question

8．给定下列四个命题：
命题p：当x＞0时，不等式lnx≤x-1与lnx≥1-$\frac{1}{x}$等价；
命题q：不等式e^x≥x+1与ln（x+1）≤x等价；
命题r：“b²-4ac≥0”是“函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0）有极值点”的充要条件；
命题s：若对任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式a＜$\frac{sinx}{x}$恒成立，则a≤$\frac{2}{π}$．
其中为假命题的是（　　）

• A． （￢s）∧￢p
• B． （￢q）∧s
• C． （￢r）∧p
• D． ￢（q∧p）

Answer 1

分析 命题p：当x＞0时，不等式lnx≤x-1，用$\frac{1}{x}$代换x可得：$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1，化简即可判断出真假；
命题q：对于不等式e^x≥x+1，当x≤-1时仍然成立，因此与ln（x+1）≤x（x＞-1）不等价；
命题r：函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0），f′（x）=ax²+bx+c，有极值点，则△=b²-4ac＞0，即可判断出真假；
命题s：若对任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，令f（x）=x-tanx，利用导数研究其单调性可得f（x）＜f（0）=0．令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$＜0，即可得出单调性，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

解答 解：命题p：当x＞0时，不等式lnx≤x-1，用$\frac{1}{x}$代换x可得：$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1，化为lnx≥1-$\frac{1}{x}$，因此正确；
命题q：对于不等式e^x≥x+1，当x≤-1时仍然成立，因此与ln（x+1）≤x（x＞-1）不等价，因此是假命题；
命题r：函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0），f′（x）=ax²+bx+c，有极值点，则△=b²-4ac＞0，因此“b²-4ac≥0”是“函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0）有极值点”的必要不充分条件，是假命题；
命题s：若对任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，令f（x）=x-tanx，f′（x）=1-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$＜0，∴函数f（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$单调递减，∴f（x）≤f（0）=0．
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$＜0，∴g（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$单调递减，∴g（x）＞$g（\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{\frac{π}{2}}$=$\frac{2}{π}$，由于不等式a＜$\frac{sinx}{x}$恒成立，则a≤$\frac{2}{π}$，是真命题．
由以上可得：（￢q）∧s，（￢r）∧p，￢（q∧p）是真命题；（￢s）∧￢p为假命题．
故选：A．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、利用导数研究函数的单调性、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．