Question

13．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；
第二种方式可截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．
问：如何切割可使钢条用量最省？

Answer 1

分析 设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，由题意得到关于x，y的不等式组，即约束条件，由约束条件作出可行域，得到最优整解，代入目标函数得答案．

解答 解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，
根据题意得约束条件是$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{x＞0，x∈N}\\{y＞0，y∈N}\end{array}\right.$，目标函数是z=x+y，
画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分．

由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=15}\\{x+3y=27}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3.6}\\{y=7.8}\end{array}\right.$，
此时z=11.4，但x，y，z都应当为正整数，
∴点（3.6，7.8）不是最优解．
经过可行域内的整点且使z最小的直线是y=-x+12，
即z=12，满足该约束条件的（x，y）有两个：（4，8）或（3，9），它们都是最优解．
即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；
或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，是中档题．