Question

给出定义：若m-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．
（1）求{4}，{-

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}，{-8.3}的值；
（2）求f（4），f（-

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），f（-8.3）的值；
（3）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；②函数y=f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间（-

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，

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]上单调递增；④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+

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，（k∈z）对称．
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m
求解即可．（2）代入f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．求解出函数值．（3）根据函数的性质的定义式判断证明

解答： 解：（1）若m-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m
{4}=4，{-

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}=-1，{-8.3}=-8，
（2）函数f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．
f（4）=|4-4|=0，
f（-

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）=|-

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-（-1）|=

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，
f（-8.3）=|-8，3-（-8）|=0.3
判断  ①②④正确
证①：当x∈(m-

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，m+

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)，m∈Z时，-x∈(-m-

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，-m+

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)，∴{x}=m，{-x}=-m，
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；
当x=m+

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，m∈Z时，f(x)=f(-x)=

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，故函数y=f（x）是偶函数．
证②：对任意x∈(m-

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，m+

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]，x+1∈(m+1-

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，m+1+

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]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
故函数y=f（x）是以1为周期的周期函数．
证④：∵函数y=f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），
又函数y=f（x）是以1为周期的周期函数，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（-x）
f(

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+x)=f(

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-x)
f(k+

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2

+x)=f(k+

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-x)，
故函数y=f（x）的图象关于直线x=k+

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&(k∈Z)

对称．

点评：本题是一道典型的创新题，难度不大，但是必须仔细阅读理解，才能能够做出．