Question

【题目】如图，在四面体中，分别为的中点，过任作一个平面分别与直线相交于点，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面，都有直线，，相交于同一点；②存在一个平面，使得点在线段上，点在线段的延长线上； ③对于任意的平面，都有；④对于任意的平面，当在线段上时，几何体的体积是一个定值.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

当分别为中点时，可知三线互相平行，排除①；若三线相交，交点必在上，可排除②；取中点，利用线面平行判定定理可证得平面，平面，再结合为中点可得到平面的距离相等，进一步得到到直线的距离相等，从而证得面积相等，③正确；首先通过临界状态与重合，与重合时，求得所求体积为四面体体积一半；当不位于临界状态时，根据③的结论可证得，从而可知所求体积为四面体体积一半，进而可知为定值，④正确.

当分别为中点时，，则①错误

若三线相交，则交点

不存在在线段上，在线段延长线上的情况，则②错误

取中点，如图所示：

分别为中点

又平面，平面 平面

同理可得：平面

到平面的距离相等；到平面的距离相等

又为中点 到平面的距离相等

到平面的距离相等

连接交于，则为中点 到距离相等

，则③正确

当与重合，与重合时，此时几何体体积为三棱锥的体积

为中点 三棱锥的体积为四面体体积的一半

当如图所示时，由③可知

又为中点 到截面的距离相等

综上所述，几何体的体积为四面体体积的一半，为定值，则④正确

本题正确结果：③④