Question

设α∈（0，

π

2

），则

sin3α

cosα

+

cos3α

sinα

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：导数的综合应用,三角函数的求值

分析：令f（α）=

sin3α

cosα

+

cos3α

sinα

，利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，化简得：f（α）=

2

sin2α

-sin2α，利用导数法可求得α=

π

4

时，f（α）取得极小值，也是最小值，从而可得答案．

解答： 解：∵f（α）=

sin3α

cosα

+

cos3α

sinα

=

sin4α+cos4α

sinαcosα

=

(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α

sinαcosα

=

2

sin2α

-sin2α，
∴f′（α）=-2（sin2α）^-2•2cos2α-2cos2α=2cos2α（-

2

sin22α

-1），
∴当α∈（0，

π

4

）时，cos2α＞0，f′（α）＜0，f（α）=

sin3α

cosα

+

cos3α

sinα

在（0，

π

4

）内单调递减；
当α∈（

π

4

，

π

2

）时，cos2α＜0，f′（α）＞0，f（α）=

sin3α

cosα

+

cos3α

sinα

在（

π

4

，

π

2

）内单调递增；
∴α=

π

4

时，f（α）取得极小值，也是最小值，
即f（α）_min=f（

π

4

）=

2

sin(2× π 4 )

-sin（2×

π

4

）=2-1=1．
故答案为：1．

点评：本题考查三角函数的最值，考查同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，考查导数法求函数的极值，属于难题．