Question

3．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D、E分别在AA₁、BB₁上，AD=BE=1，F、G分别是B₁C₁、A₁C₁的中点，则直线GF与直线DE的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{6}}{4}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{19}}{2}$

Answer 1

分析 根据ABED是平行四边形，得出DE∥AB∥A₁B₁，从而得出FG∥A₁B₁，DE∥FG，四边形DEFG是梯形，
再得△MNR是直角三角形，求出MR的值．

解答 解：因为AD=BE，AD∥BE，
所以ABED是平行四边形，
所以DE∥AB∥A₁B₁，
因为F、G分别是B₁C₁、A₁C₁的中点，
所以FG∥A₁B₁，从而DE∥FG，
所以四边形DEFG是梯形，分
别取DE、A₁B₁、FG的中点M、N、R，
易得△MNR是直角三角形，
且MN⊥NR，
由已知可得MN=2，NR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以MR=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，也考查了空间中的距离计算问题，是综合性题目．