Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为（﹣a，0），点 Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且 =4，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，椭圆C： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，

过点A（2，0），B（0，1）两点．

∴a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为 ；

又c= = ，

∴离心率e= =

（2）解：由（1）可知A（﹣2，0）．

设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．

于是A，B两点的坐标满足方程组 ，

由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．

由﹣2x1= ，得x1= ．

从而y1= ．

设线段AB的中点为M，

则M的坐标为（﹣ ， ）．

以下分两种情况：

① 当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 =（﹣2，﹣y0）， =（2，﹣y0）．

由 =4，得y0=±2 ．

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

y﹣ =﹣ （x+ ）．

令x=0，解得y0=﹣ ．

由 =（﹣2，﹣y0）， =（x1，y1﹣y0）．

=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）

= + （ + ）

= =4，

整理得7k2=2，故k=± ．所以y0=± ．

综上，y0=±2 或y0=±

【解析】（1）由题意可知：焦点在x轴上，过点A（2，0），B（0，1）两点，则a=2，b=1．c= = ，离心率e= = ；即可求得椭圆C的方程及离心率；（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，中点坐标公式，求得中点M的坐标，分类，①当k=0时，点B的坐标为（2，0），由 =4，得y0=±2 ．②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣ =﹣ （x+ ）．向量的数量积的坐标表示．即可求得求得y0的值．