Question

7．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$．

Answer 1

分析 （1）由z=1，得x=log₃6，y=log₄6，由此利用对数的性质、运算法则和换底公式能求出（x-1）（2y-1）的值．
（2）令3^x=4^y=6^z=t，则x=log₃t，y=log₄t，z=log₆t，由此利用对数的性质、运算法则和换底公式证明$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$．

解答 （1）解：∵z=1，∴3^x=4^y=6，
∴x=log₃6，y=log₄6，
∴（x-1）（2y-1）=（log₃6-1）（2log₄6-1）
=$lo{g}_{3}\frac{6}{3}•lo{g}_{4}\frac{36}{4}$=log₃2•log₄9
=$lo{g}_{3}2•\frac{2}{lo{g}_{3}4}$=1．
（2）证明：令3^x=4^y=6^z=t，则x=log₃t，y=log₄t，z=log₆t，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$=log_t6-log_t3=log_t2，$\frac{1}{2y}=\frac{1}{2}×lo{g}_{t}4=lo{g}_{t}2$，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$．

点评 本题考查对数式的化简证明，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则和换底公式的合理运用．