Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f(n)=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

(n∈N，且n≥2)，求函数f（n）的最小值；
（3）设bn=

1

an

，Sn表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点P代入直线方程，可得a_n+1-a_n=1进而判断数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列数列{a_n}的通项公式可得．
（2）分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）-f（n）＞0判断f（n）单调递增，故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

（3）把（1）中的a_n代入求得b_n，进而求得Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)最后（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=nS_n-n=n（S_n-1），判断存在关于n的整式g（x）=n．

解答：解：（1）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，
1为公差的等差数列a_n=1+（n-1）•1=n（n≥2），
a₁=1同样满足，所以a_n=n
（2）f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

1

2n+2

-

1

n+1

=0
所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

（3）bn=

1

n

，可得Sn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

，
Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1
…
S₂-S₁=S₁+1
∴nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2
∴g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，
使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．