Question

3．已知xy＞0，若$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$＞m²+3m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥-1或m≤-4
• B． m≥4或m≤-1
• C． -4＜m＜1
• D． -1＜m＜4

Answer 1

分析 $\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}≥2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}=4$，将不等式转化为m²+3m-4＜0，解不等式即可

解答 解：∵xy＞0，
∴$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}≥2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}=4$，
当且仅当$\frac{x}{y}=\frac{4y}{x}$时，等号成立．
$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}$的最小值为4．
将不等式转化为m²+3m-4＜0
解得：-4＜m＜1．
故选：C．

点评 此题看似函数的恒成立问题，其实质还是考查均值不等式的应用，是一道基础题；