Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)与抛物线E：y²=4x有一个公共的焦点F，且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为

2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx与抛物线E的交点为O，Q，与椭圆c的交点为M，N（N在线段OQ上），且|MO|=|NQ|． 问满足条件的直线l有几条，说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定椭圆的焦点坐标，点P的坐标，利用点P在椭圆C上，求得a的值，根据c=1，b=

a2-c2

，即可求得椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，可求M的坐标，联立直线与抛物线，可求Q的坐标，根据|MO|=|NQ|，可得N为线段OQ的中点，从而可建立方程，由此可得结论．

解答：解：（1）∵抛物线E：y²=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．
由点P在抛物线y²=4x上，所以P（

2

3

，

2 6

3

）．
又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b=

a2-c2

=

3

，从而椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1     （5分）
（2）联立直线与椭圆方程得

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，消去y可得3x²+4k²x²=12，∴x=±2

3 3+4k2

．（7分）
联立直线与抛物线得

y=kx y2=4x

，消去y可得k²x²=4x，解得x=0或x=

4

k2

        （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴4

3 3+4k2

=

4

k2

，
化简得3k⁴-4k²-3=0，解得k²=

2+ 13

3

（负值舍去），故满足题意的k值有2个．
从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，属于中档题．