Question

设S_n是公差不为0的等差数列a_n的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．（1）求的值；（2）若a₅=9，求a_n及S_n，的表达式．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意，得S₂²=S₁•S₄
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因为d≠0
所以d=2a₁，故=3；
（2）因为a₅=9，d=2a₁，a₅=a₁+8a₁=9a₁，
所以a₁=1，d=2
因此a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，S_n=n²
分析：（1）由若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₃成等比数列．根据等差数列的前n项和公式，我们易求出基本量（即首项与公差）之间的关系．将基本量代入易得的值；（2）由a₅=9，构造方程，解方程即可求出基本量（即首项与公差）的值，然后根据等差数列通项公式的概念，不难得到答案．
点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．属中档题．