Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），求M（a）的表达式；
（3）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；
（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式；
（3）先确定N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

，再利用（2）的结论，即可求得g（a）的表达式．

解答：解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数…（2分）
当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在(-∞，

1

a

)上为减函数，在(

1

a

，+∞)上为增函数…（4分）
当a＜0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向下，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在(-∞，

1

a

)上为增函数，在(

1

a

，+∞)上为减函数…（6分）
（2）∵f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3
当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=

a-1， 1 3 ≤a≤ 1 2 9a-5， 1 2 ＜a≤1

…（8分）
（3）∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3
∴N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

当

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，∴g(a)=9a+

1

a

-6
当

1

3

≤a≤

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1，∴g(a)=a+

1

a

-2…（12分）
∴g(a)=

a+ 1 a -2，a∈[ 1 3 ， 1 2 ] 9a+ 1 a -6，a∈( 1 2 ，1]

…（13分）

点评：本题考查函数的单调性，考查二次函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．