Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1，则函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数f^-1（x）的值f^-1（19）=

1. A.
   3-2log₂3
2. B.
   -1-2log₂3
3. C.
   5+log₂3
4. D.
   log₂15

Answer 1

A
分析：利用函数的奇偶性、周期性及反函数，把要求的函数的自变量转化到所给的区间x∈[4，6]，即可计算出要求的值．
解答：设f^-1（19）=a∈[-2，0]，则f（a）=19，
∵a∈[-2，0]，∴-a∈[0，2]，∴（-a+4）∈[4，6]，
又已知f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（a）=f（-a），
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴f（-a）=f（-a+4），
而当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1，
∴f（-a+4）=2^-a+4+1，
∴2^-a+4+1=19，即2^-a+4=18，即-a+4=log₂18，
而log₂18=1+2log₂3，
∴-a+4=1+2log₂3，
∴a=3-2log₂3．
故选A．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性、周期性及反函数，准确理解以上有关定义及性质是解决问题的关键．