Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDC1；
（2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF，DF．

则EF是△BCC1中位线，根据已知得EF∥DA，且 EF=DA．

∴四边形ADFE是平行四边形∴AE∥DF，

∵DF平面BDC1，AE平面BDC1，

∴直线AE∥平面BDC1

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，

由已知得 ．∴ ．

设平面BDC1的一个法向量为 ，

则 ．∴ ，

取z=﹣1，解得 ．

∴ 是平面BDC1的一个法向量．

由已知易得 是平面ABC的一个法向量．

设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，

则 ．∵0＜θ＜π，∴ ．

∴平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为 ．

【解析】（1）设BC1的中点为F，连接EF，DF．得到EF是△BCC1中位线，说明EF∥DA，ADFE是平行四边形，推出AE∥DF，即可证明直线AE∥平面BDC1 ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面BDC1的一个法向量，平面ABC的一个法向量．设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，通过向量的数量积求解平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值即可．