Question

某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=

- 1 2 x2+400x(0≤x≤400) 80000(x＞400)

，其中x是组合床柜的月产量．
（1）将利润y元表示为月产量x组的函数；
（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）

Answer 1

分析：（1）求出月产量x组的成本，由利润等于收益减去成本分段求出月产量x组的利润；
（2）当0≤x≤400时，利用配方法求最大值，当x＞400时，由一次函数的单调性求最值，两段最大值中的最大者为所求．

解答：解：（1）由题设，总成本为20000+100x，
由利润等于总收益-成本得：
y=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，              x＞400

；
（2）当0≤x≤400时，y=-

1

2

(x-300)2+25000，
当x=300时，y_max=25000；
当x＞400时，y=60000-100x是减函数，
则y＜60000-100×400=20000＜25000．
∴当x=300时，有最大利润25000元．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用配方法和函数的单调性求函数的最值，是中档题．