Question

（2009•重庆模拟）某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是

1

3

，且面试是否合格互不影响，求：
（I）至少有1人面试合格的概率；
（II）签约人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）由三人都不合格的概率是(

2

3

)3=

8

27

，能求出至少有1人面试合格的概率．
（II）由题设知，ξ=0，1，2，3，先分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3）的值，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）∵三人都不合格的概率是(

2

3

)3=

8

27

，
∴至少有1人面试合格的概率为p=1-(

2

3

)3=

19

27

．
（II）由题设知，ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=

2

3

×

2

3

×

2

3

+

2

3

×

1

3

×

2

3

+

2

3

×

2

3

×

1

3

=

16

27

，
P（ξ=1）=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

，
P（ξ=3）=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

．
从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	16 27	4 27	2 27	1 27

∴Eξ=0×

16

27

+1×

4

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

11

27

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．